propiedades de esperanza, varianza y desviación estandar

Propiedades de esperanza, varianza y desviación estándar

1.    La esperanza matemática de una constante k es igual a la misma constante:

E (k) = k

Ejemplo: Aplicando la propiedad E (k) = k se tiene que

·        a. E (2)= 2

·        b. E (23) = 23

2.    La esperanza matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las esperanzas matemáticas de los sumandos:

E (X + Y) = E(X) + E (Y)

Ejemplo:

·b. Hallar la esperanza de las siguientes variables aleatorias:

X	0	1	2
P(X=x)	1	0,5	0,15

Aplicando la propiedad: E (X + Y) = E(X) + E (Y)

            E(X) = [(0∙1) + (1∙0,5) + (2∙0,15)]

                        0      +  0,5     +   0,3 =0,8

E(x) = 0,8

·a. Hallar la esperanza de las siguientes variables aleatorias:

X	0	1	2
P(X=x)	0,5	0,3	0,25

            E(X) = [(0∙0,5) + (1∙ 0,3) + (2∙0,25)]

                              0       +    0,3    +    0,5

            E(X) = 0,8

3.    Un factor constante se puede sacar fuera del signo de esperanza matemática:

E (kX) = k ∙ E(X)

Ejemplo:

·     a. E(X)= 2,5

E (3X) = 3 ∙ E (X)

3 ∙ E (X) = 3 ∙ 2,5= 7,5

·     b. E (X) = 1,2

E (7X) = 7∙ E (X)

7 ∙ E (X) = 7 ∙ 1,2 = 8,4

4.    E (aX + b) = aE(X) + b

Ejemplo: Sea X cualquier variable aleatoria discreta. Si la variable aleatoria 6X + 2 tiene esperanza 1 ¿Cuál es la esperanza de X?

            Se tiene que E (6X + 2) = 1. Por consiguiente, aplicando la propiedad:

E (aX + b) = aE(X) + b

                        1 = E (6X+2)= 6E(X) + 2

                        6E(X)  = 1 - 2 = -1, es decir, E (X) = -1/6

5.    E (aX) = aE(X) (si se toma b=0)

Ejemplo: Sea X cualquier variable aleatoria discreta. Si la variable aleatoria 4X tiene esperanza 2. ¿Cuál es la esperanza de X?

Se tiene que E (3X) = 2. Por consiguiente, aplicando la propiedad:

            E (aX) = aE(X)

            2 = E (3X)=  3E(X)

            3E(X) = 2, es decir, E (X) = 2/3

6.    Si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria, el valor esperado del producto de las variables es igual al producto de los valores esperados, solamente en el caso de que las variables X e Y sean independientes.

E (X∙Y) = E (X) ∙ E (Y) si X e Y son independientes.

Ejemplo:

a. Sean X e Y dos variables aleatorias cuyos valores esperados son: E(X)= 5 y E (Y) = 8.

Aplicando la propiedad: E (X∙Y) = E (X) ∙ E (Y)

Se tiene que: E (5.8) = E (5) ∙ E (8)

                                    = 40

Propiedades de la varianza y desviación estándar

                   

La varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ²) se define así:

Propiedades:

1.            La varianza siempre será un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2.            Si todos los valores se le suma un numero la varianza no varía.

3.            Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

Propiedades de la desviación estándar

La desviación estándar denotada con la variable S_X, corresponde a la raíz cuadrada de la varianza tomada con signo positivo

            

  S_{X =} + S²_X

1.    La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero Sx ≥ 0

2.    La deviación estándar es invariante ante cambios de origen S_X + x = S_X

3.    La deviación estándar se modifica ante cambios de escala: Sc_X = |c| S_X

 

 

 

 Ejemplo

Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros):

Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.

Calcula  la varianza y la desviación estándar.

Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:

Varianza: σ2 =	2062 + 762 + (-224)2 + 362 + (-94)2	=	108,520	= 21,704
	5		5

Así que la varianza es 21,704.

Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:

Desviación estándar: σ = √21,704 = 147

y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a distancia menos de la desviación estándar (147mm) de la media:

Así que usando la desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es normal, o extra grande o extra pequeño.

*Nota: ¿por qué al cuadrado?

Elevar cada diferencia al cuadrado hace que todos los números sean positivos (para evitar que los números negativos reduzcan la varianza) Y también hacen que las diferencias grandes se destaquen. Por ejemplo 100²=10,000 es mucho más grande que 50²=2,500.

Pero elevarlas al cuadrado hace que la respuesta sea muy grande, así que lo deshacemos (con la raíz cuadrada) y así la desviación estándar es mucho más útil.